ORDEN Y VALOR ABSOLUTO DE ENTEROS

ORDEN DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros en la recta numérica están ordenados del mas pequeño hasta al más grande, en la dirección de izquierda a derecha.

Para comparar dos a más números enteros se utilizan los símbolos:

< "menor que"

> "mayor que"

= "igual que"

Al comparar dos números enteros sobre la recta numérica es mayor aquel que se encuentra a la derecha del otro.

• Un número entero es mayor que otro si se encuentra a su derecha en la recta numérica.
• Un número entero es menor que otro si se encuentra a su izquierda  en la recta numérica.
• Un número entero es igual a otro si se encuentran en el mismo punto en la recta numérica.
• Todo número negativo es menor que cero. 
• Todo número positivo es mayor que cero.
• Todo número entero negativo es menor que cualquier número positivo.

- 5 es menor que 1:    -5 < 1
-1 es mayor que -11:   -1 > -11

El valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número es la distancia respecto al cero. Se denota con dos barras verticales en las cuales se encierra el número.

      |−a| = a      

 |a| = a  

Ejemplo: 

Los números +6 y -6 se encuentran a 6 unidades de cero

por lo tanto, el valor absoluto de + 6 y - 6 es 6

simbólicamente, se expresa así:

/-6/ = /+6/ = 6

https://youtu.be/KvT1pv7Mc_Q

NÚMEROS OPUESTOS

Los números enteros que están ubicados a la misma distancia del cero, son simétricos respecto a cero (0), tienen el mismo valor absoluto pero diferente signo.

- 4 Y 4  son números opuestos porque:

•  Se encuentran a la misma distancia del cero.
• Son simétricos respecto al cero
• Tienen el mismo valor absoluto, pero distinto signo

Ejemplo: Opuesto de 5 es: -5

                Opuesto de -8 es: 8

NÚMEROS RELATIVOS Y ENTEROS

CONCEPTOS GENERALES

Lo estudiado en el grado sexto, corresponde a los números naturales. Dentro de este conjunto las operaciones de adición y multiplicación siempre se cumple, pero la sustracción en algunos casos no tiene solución.
59 - 18 = 41                          25- 120 = ?
Para dar respuesta a interrogantes como las anteriores se crea un nuevo conjunto llamado números Enteros que se representan con la letra Z.

El conjunto de los números enteros se forma al agregar al conjunto de los números naturales, sus opuestos y el cero.

    N = Z+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6,...}

    Z- = { ..., -5, -4, -3, -2, -1}

      Z = Z+ U {0} U Z-

En la recta numérica los números positivos se ubican a la derecha y los números negativos a la izquierda de cero.

Los números enteros se pueden utilizar en muchas situaciones de la vida diaria.

• Para medir altitudes. Se considera  0 el nivel del mar, los niveles por encima del mar se pueden expresar por números enteros positivos, y los niveles por debajo del nivel del mar se pueden expresar por números enteros negativos.

  

  https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiBxwrBVY1mk9SGM11clgtTzg_Yirjd-IGwtu6ExNDOYIKpjpR3-ayp5ODHayks1saAHlYvzJdtEB1PN4GMvFtt3-Bc05bOBiDfzTyeHomj0IMgyg4Mf9oTi1GAZ7bN0aJey0rBHGZXkWEQ/s1600/Dibujo3.bmp

• Para medir temperaturas. Fíjate en el termómetro. El termómetro mide la temperatura en grados. Cuando el termómetro marca 0 grados el agua se congela. Las temperaturas por encima de 0 grados se indican con números enteros positivos.Las temperaturas por debajo de 0 grados se indican con números enteros negativos

http://comps.canstockphoto.com/can-stock-photo_csp4562390.jpg

• Movimiento de un ascensor
• Ganancias y pérdidas 
• Deudas
• Los años antes y después de Cristo
• Puntos a favor y en contra, etc

Ejemplo:

Dos autos salen de una ciudad en direcciones contrarias: uno con una velocidad de 62 Km/h hacia el este y el otro a 80 Km/h hacia el Oeste. ¿Qué distancia los separa al cabo de 2 horas?

Solución:

AUTO A: recorre 62 x 2 = 124 Km al este

AUTO B: recorre 80 x 2 = 160 Km al oeste

la distancia entre ellos es 124 Km + 160 Km = 284 Km

Rta: la distancia de separación de los autos después de 2 horas es de 284 Km.

https://youtu.be/hwpS4ShHpvM

ADICIÓN Y SUTRACCION DE NÚMEROS ENTEROS

ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Para sumar 2 o más números enteros se deben tener en cuenta los siguientes casos:

1. Si los números tienen el mismo signo:

Analicemos la siguiente situación:

• María sube 5 escalones y luego sube 4 escalones más. ¿Cuántos escalones subió en total?

5 + 4 = 9 

• Pablo baja 6 escalones y luego baja 5 escalones ¿En qué escalón quedó?

 (-6) + (-5) = -11

CONCLUSIÓN 

1. Para sumar 2 o más números enteros positivos, se suman común y corriente y el resultado es positivo
2. Para sumar 2 o más números enteros negativos, se suman común y corriente y el resultado es negativo.

2. Si los números tienen diferente signo:
Analicemos las siguientes situaciones:

• Berta baja 12 escalones y luego sube 5 escalones. ¿En qué escalón quedó?

         - 12 + 5 = - 7 

• Andrés sube 10 escalones y luego baja 5 escalones. ¿En qué escalón quedó?

          10 + (-5)  = 5 

• Julio sube 6 escalones y luego baja 9 escalones. ¿En qué escalón quedó?

            6 + ( - 9) = - 3

• Miguel bajó 4 escalones y suego subió 9 escalones. ¿En qué escalón quedó?

         ( -4) + 9 = 5

                                                        CONCLUSIÓN 

Para sumar 2 números enteros que tienen diferente signo se realiza una resta común y corriente y al resultado se le coloca el signo del número que representa la mayor cantidad.

SUSTRACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

La sustracción es un caso particular de la suma por lo tanto estas operaciones están muy relacionadas.
Para restar 2 números enteros se realiza el siguiente procedimiento:
Al minuendo se le suma el opuesto del sustraendo y luego se encuentra el resultado aplicando los diferentes casos de adición.

EJEMPLO:
- 7 - 4 = -7 + (-4) = - 11
12 - 3 = 12 + (-3) = 9
3 - 18 = 3 + (-18) = - 15
- 9 - (-4) = - 9 + 4 = - 5

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

La multiplicación de números enteros tiene el mismo significado que la multiplicación de números naturales, es decir es una suma abreviada.
Para multiplicar enteros debemos:

•  Multiplicar los nº sin signo
• Aplicar la regla de los signos
  

EJEMPLO:

(-4) * 5 * (-3) * (- 2 ) = - 120
58 * (- 2) = -116
(-8) * (-5) = 40

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Para dividir números enteros debemos 

•  Dividir los números dados sin signo 
•  Aplicar la regla de los signos para la división

EJEMPLOS:

45 / (-3) = - 15
(-12) / 4 = - 3
(-25) / (-5) = 5

https://youtu.be/7rgIk3obmXk

PROBLEMAS

Las operaciones  con números enteros se las utiliza para dar respuesta a muchas situaciones que se presentan en la vida diaria.

EJEMPLOS:

1. Una persona camina 6 pasos a la derecha, se detiene , luego avanza 5 pasos más en la misma dirección y finalmente camina 9 pasos hacia la izquierda. ¿A cuántos pasos se encuentra de la posición inicial?

  

6 + 5 + (-9) =

11 + (-9) =

2

2. María deposita $200.000 en el banco el día martes. El día  jueves retira $175.000 para cancelar una deuda, después de 15 días realiza un depósito de $500.000. ¿Cuál es el saldo?

SOLUCIÓN:
200.000 - 175.000 + 500.000

= (200.000 + 500.000) - 175000

= 700.000 - 175.000

= 525.000

https://youtu.be/iQHWQCZJ8Q0

ACTIVIDAD

• Un ascensor realiza los siguientes desplazamientos: baja 2 pisos, sube 5 pisos, baja 4 pisos y nuevamente baja 3 pisos y por último sube 4 pisos. ¿En qué piso terminó su recorrido si inicialmente se hallaba en el piso 21?

• Un día de invierno amaneció a 3 grados bajo cero. A las doce del mediodía la temperatura había subido 8 grados, y hasta las cuatro de la tarde subió 2 grados más. Desde las cuatro hasta las doce de la noche bajó 4 grados, y desde las doce a las 6 de la mañana bajó 5 grados más. ¿Qué temperatura hacía a esa hora?

• Un atleta se encuentra en una prueba de resistencia; recorre 600 metros en un  minuto y mantiene el mismo ritmo durante toda la competencia.   ¿Qué distancia recorrió el atleta en tres minutos y medio?         Si gastó un total de 12 minutos para completar la prueba, ¿de cuántos metros consistía ésta?  Cuando habían ocurrido cinco minutos y medio, ¿cuántos metros le faltaban por recorrer?

•  En una ciudad hay 8990 estudiantes y 145 profesores. Si los estudiantes se reparten equitativamente entre los profesores, ¿cuántos estudiantes se le asignarán a cada profesor?

ECUACIONES

Una ecuación es una igualdad en la cual existe un término desconocido llamado incógnita o variable, además los términos de una ecuación se relacionan mediante las operaciones de +, -, x , /.

Para resolver una ecuación, deben deshacerse las operaciones que la conforman.

primero deben deshacerse las adiciones y sustracciones mediante las operaciones inversas y por último las multiplicaciones y las divisiones del mismo modo.

Ejemplo
Resolver las siguientes ecuaciones:

1.   Y + 5 = - 3
     Y = -3  - 5 
      Y = - 8

2. 3X + 5   = 8
     3X + 5 - 5 = 8 - 5 
     3X = 3
     X = 3 ÷ 3
     X = 1

ACTIVIDAD.

Resolver cada una de las ecuaciones con su respectiva prueba.

 a)   – 4. a  + 7 =  – 12. a – 1                                      b)  – 12 – 3. e = 3             

  c)  9 . b – 7     – 3                                                  d)  21 – k = –  14

            8

POLINOMIOS ARITMÉTICOS EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Un polinomio aritmético: es una expresión en la que aparecen varias operaciones entre números (+, -, *, ÷) las cuales pueden entre signos de agrupación como:
Paréntesis (  ), corchetes [ ]   y llaves {  }.

Para encontrar el resultado se deben seguir los siguientes pasos:

1. Primero se resuelve lo que esté entre signos de agrupación empezando por lo más interno,

2. Se realizan las multiplicaciones y divisiones y luego las sumas y restas, siempre de izquierda a derecha.

3. Si hay operaciones fuera de los signos de agrupación se pueden realizar al mismo tiempo que las hechas en los signos de agrupación.

Ejemplo:

    5 - 3*[4 - (2 + (3 x 5) - 7) +2] - 6 

= 5 - 3*[4 - (2 + 15 - 7) +2] - 6 

= 5 - 3*[4 - (10) +2] - 6 

= 5 - 3*[4 - 10 +2] - 6 

= 5 - 3*[- 4] - 6 

= 5 + 12 - 6 

= 11

Ejemplo:

    ( 8 ÷ (-4)) + 2 [5 - 3(5 - 3) + 4] - (4 * 2)

= (-2)+ 2 [5 - 3(2) + 4] - 8

= (-2)+ 2 [5 - 6 + 4] - 8

= (-2)+ 2 [3] - 8

= (-2) + 6 - 8

= - 4

ACTIVIDAD

Solucionar los siguientes polinomios aritméticos:

a)  3 - { 4 + [5 - (2 - 7 - 9) + 4]- 6}

b) (14 ÷ 2) - {5 + [7 * (2 - 4) + 5] + (6 - 11)} 

c) {-3 + [6 - (8 - 11 - 7) + 8] - 10}